gb

TENSEGRITY

logo02
WISKUNDE
wiskunde de eerste vergelijking meer dan drie stokjes tetraëder ongelijkvormig ellipsvormig

Formule voor ellipsvormige tensegrities

Hier wordt beschreven hoe je de touw- en stoklengtes kunt berekenen van tensegrities zoals fauteuil en ellips, waarbij de stokeinden aan de ene zijde een cirkel vormen en aan de andere zijde een ellips.

Eerst een hoop definties. Zie ook de figuur hiernaast.

  • n = aantal stokken
  • k = stoknummer (nr 1 ligt op X-as)
  • ra = straal van de cirkel a
  • w = afstand van het hart van de cirkel t.o.v. Y-as
  • k+v = stoknummer waar touw c van stok k aan vast zit
  • g = de straal van de ellips in de X-richting
  • h = straal van de ellips in de Y-richting
Voor De X- en Y-coördinaten van de voet van stok k geldt:
Xka = - w - ra * cos (360 * (k-1) / n)
(1)

Yka = ra * sin (360 * (k-1) / n)
(2)

Stok k loopt van de voet (een rode punt op de cirkel) omhoog naar een (blauwe) punt op de ellips. Er loopt vervolgens weer een touw van de blauwe punt naar de voet (een andere rode punt van de cirkel). Deze andere rode punt is van stok k+v. Voor stok k+v geldt:

X(k+v)a = - w - ra * cos (360 * (k+v-1) / n)
(3)

Y(k+v)a = ra * sin (360 * (k+v-1) / n)
(4)

Van de voet van stok k naar de voet van stok k+v is een lijn denkbaar die de volgende richting f heeft:

f = (Y(k+v)a - Yk) / (X(k+v)a - Xk)
(5)

Het einde van stok k ligt op het snijpunt van een lijn door het hart van de cirkel a en een richting f (zie de groene lijn in de figuur) en de ellips

De vergelijking die de groene lijn beschrijft is:

Y = f * (X + w)
(6)

Voor iedere ellips geldt de volgende vergelijking:

(X2 / g2) + (Y2 / h2) = 1
(7)

Met wat gepuzzel levert (6) met (7) de volgende vergelijking:

Xb2 * ( f2 + (h/g)2) + Xb * 2*f2*w + f2*w2 = h2
(8)

Met vergelijking (8) en de abc-formule is voor iedere stok k de X-coördinaat van ieder einde van die stok te berekenen en met vergelijking (6) ook de Y-coördinaat.

Voor de lengte van stok k geldt dan:

sk2 = (Xkb - Xka)2 + (Ykb - Yka)2 + Zk2
(9)

waarbij Z een vrij te kiezen hoogte van de stok is.

Voor de lengte van touw c (van de bovenkant van stok k naar de onderkant van stok k+v) geldt:

ck2 = (Xkb - X(k+v)a)2 + (Ykb - Y(k+v)a)2 + Zk2
(10)

Voor de lengte van touw b (van de bovenkant van stok k naar de bovenkant van stok k+1) geldt:

bk2 = (Xkb - X(k+1)b)2 + (Ykb - Y(k+1)b)2 + Zk2
(11)

En voor de volledigheid (maar dit is niks nieuws): Voor de lengte van touw a geldt:

a = 2 * ra * sin (180/n)
(12)
tensegrity 043
Schematisch bovenaanzicht van een tensegrity waarbij de onderkant een cirkel is en de bovenzijde een ellips
Marcelo Pars