gb

TENSEGRITY

logo02
WISKUNDE
wiskunde de eerste vergelijking meer dan drie stokjes tetraëder ongelijkvormig

Ongelijkvormig

Wiskundige problemen met tensegrities bestaande uit slechts drie stokjes kunnen natuurlijk nooit groot zijn. Toch blijkt het eenvoudige rekenwerk lastiger te zijn dan verwacht. Deze pagina dient er dan ook vooral toe om aan te tonen hoe simpele zaken toch ingewikkeld kunnen zijn.

Misschien is deze "complexiteit van de eenvoud" een van de belangrijkste redenen waarom de tensegrity altijd een gepaste afstand heeft behouden tot het grote publiek.

Overigens is de hieronder getoonde berekening slechts één van de manieren waarop de puzzel kan worden opgelost. Het voordeel van deze techniek is dat je uitsluitend de stelling van Pythagoras hoeft te kennen.

Allereerst de eenvoud van de tensegrity: In de figuur hiernaast staat een tensegrity afgebeeld met twee korte stokjes en één lange. De zes hoekpunten van deze tensegrity zijn geletterd A t/m F. In onderstaande tabel staan alle verbindingen tussen de zes punten weergegeven.

A B C D E F
A -
B touw -
C touw touw -
D stok touw -
E stok touw touw -
F touw stok touw touw -

De hele constructie wordt bepaald met de ligging van de zes hoekpunten A t/m F. Ieder hoekpunt heeft drie coördinaten corresponderend met de X-, de Y- en de Z-richting. Zo heeft bijv. punt E de coördinaten Ex, Ey en Ez.

In totaal zijn er dus 6 x 3 = 18 variabelen of onbekenden.

De 9 touwtjes beschrijven de volgende 9 vergelijkingen:

(Bx - Ax)2 + (By - Ay)2 + (Bz - Az)2 = tA-B2
(23)
(Cx - Ax)2 + (Cy - Ay)2 + (Cz - Az)2 = tA-C2
(24)
(Cx - Bx)2 + (Cy - By)2 + (Cz - Bz)2 = tB-C2
(25)
(Fx - Ax)2 + (Fy - Ay)2 + (Fz - Az)2 = tA-F2
(26)
(Dx - Bx)2 + (Dy - By)2 + (Dz - Bz)2 = tB-D2
(27)
(Ex - Cx)2 + (Ey - Cy)2 + (Ez - Cz)2 = tC-E2
(28)
(Ex - Dx)2 + (Ey - Dy)2 + (Ez - Dz)2 = tD-E2
(29)
(Fx - Dx)2 + (Fy - Dy)2 + (Fz - Dz)2 = tD-F2
(30)
(Fx - Ex)2 + (Fy - Ey)2 + (Fz - Ez)2 = tF-E2
(31)

De 3 stokjes beschrijven de volgende 3 vergelijkingen:

(Dx - Ax)2 + (Dy - Ay)2 + (Dz - Az)2 = sA-D2
(32)
(Ex - Bx)2 + (Ey - By)2 + (Ez - Bz)2 = sB-E2
(33)
(Fx - Cx)2 + (Fy - Cy)2 + (Fz - Cz)2 = sC-F2
(34)

De constructie staat opgesteld in de ruimte waarvan wij het coördinaatstelsel vrij kunnen kiezen. Voor het gemak kiezen we het stelsel zo dat punt A in het hart van het stelsel ligt en B op de X-as. A, B en C, laten we tenslotte in een plat horizontaal vlak liggen waarvoor geldt Z = 0. De coördinaten liggen dan als volgt vast:

Ax = 0
(35)
Ay = 0
(36)
Az = 0
(37)
By = 0
(38)
Bz = 0
(39)
Cz = 0
(40)

In totaal staan hierboven nu 18 vergelijkingen. Er waren 18 onbekenden. Het vraagstuk moet dus op te lossen zijn.

We zijn inmiddels beland in de fase waar simple zaken toch lastig worden: De bepaling van 17 coördinaten als funktie van 1 vrij te kiezen coördinaat.

De eerste zes coordinaten zijn al gegeven door het gekozen coördinatenstelsel (zie verg (35) t/m (40)).
Met verg. (23) en (35) t/m (39) volgt eenvoudig:

Bx = ± tA-B
(41)

Voor het gemak kiezen we hier Bx = + tA-B

Met verg. (24), (25) en (35) t/m (40) volgt:

Cx = (Bx2 + tA-C2 - tB-C2) / (2*Bx)
(42)

en:

Cy = ± √(tA-C2 - Cx2)
(43)

waarbij hier ook gekozen is voor de positieve waarde.

Met verg. (27) en (32):

Dx = ( Bx2 + sA-D2 - tB-D2) / (2*Bx)
(44)

De waarde Dy wordt onze enige variabale die vrij wordt gekozen.

Het rekenwerk dat hier volgt is de bepaling van alle andere coördinaten als funktie van deze gekozen Dy.

Met verg. (32) en (35) t/m (37):

Dz = ± √(sA-D2 - Dy2 - Dx2)
(45)

Voor het gemak is hier weer gekozen voor de positieve waarde.

Met verg. (28) en (33) volgt:

Ey = N + W * Ex
(46)

waarbij:

N = ( sB-E2 - tC-E2 - Bx2 + Cx2 + Cy2 ) / (2*Cy)
(47)

en

W = ( Bx - Cx ) / Dy
(48)

Met verg. (29) en (33) volgt:

Ez = M + V * Ex
(49)

waarbij:

M = ( sB-E2 - tD-E2 + Dx2 + Dy2 + Dz2 - Bx2 - 2*N*Dy ) / ( 2*Dz )
(50)

en

V = ( Bx - Dx - W*Dy) / Dz
(51)
tensegrity 142

Het is misschien op de foto niet zeer goed zichtbaar maar het stokje tussen de punten C en F is langer dan de twee andere stokjes (die beiden even kort zijn).

Met verg. (46) en (49) in (33) volgt:

Ex = ( - b ± √ ( b2 - 4 * a * c )) / (2 * a)
(52)

waarbij in dit geval a, b en c gelijk zijn aan:

a = 1 + W2 + V2
(53)
b = 2*N*W + 2*M*V - 2*Bx
(54)
c = Bx2 + M2 + N2 - sB-E2
(55)

Met verg. (26), (30), (31) en (35) t/m (37) volgt:

Fy = G + P * Fx
(56)

waarbij:

G = {Ez * ( tD-F2 - tA-F2 - Dx2 - Dy2 - Dz2 )
+ Dz * ( tA-F2 - tE-F2 + Ex2 + Ey2 + Ez2) }
/ (2*Ey*Dz - 2*Dy*Ez)
(57)

en

P = ( Dx*Ez - Dz*Ex ) / ( Dz*Ey - Dy*Ez )
(58)

En met dezelfde vergelijkingen volgt ook:

Fz = H + Q * Fx
(59)

waarbij:

H = ( tA-F2 - tD-F2 + Dx2 + Dy2 + Dz2 - 2*G*Dy) / (2*Dz )
(60)

en

Q = ( - Dx - Dy*P ) / ( Dz )
(61)

Met verg. (26) en (35) t/m (37) volgt tenslotte:

Fx = ( - b ± √ ( b2 - 4 * a * c )) / (2 * a)
(63)

waarbij in dit geval a, b en c gelijk zijn aan

a = 1 + P2 + Q2
(64)
b = 2*G*P + 2*H*Q
(65)
c = G2 + H2 - tA-F2
(66)

En met bovenstaande liggen alle coördinaten vast als functie van Dy

We gaan nu terug naar de tensegrity op de afbeelding, waarbij alle touwtjes 20,44 cm lang zijn en twee van de drie stokjes 26,0 cm.

De tabel ziet er dan als volgt uit:

A B C D E F
A -
B 20,4 -
C 20,44 20,44 -
D 26,0 20,44 -
E 26,0 20,44 20,44 -
F 20,44 ??? 20,44 20,44 -

Met bovengenoemde vergelijkingen kunnen we alle coördinaten bepalen als funktie van Dy. In onderstaande tabellen is dit uitgewerkt voor Dy = -1,8, Dy = -3,8 en Dy = -5,8. Bij iedere tabel is tevens de afstand bepaald tussen de punten C en F. Het blijkt dat voor Dy = -3,8 geldt dat de afstand tussen C en F maximaal is en wel 36,3 cm. Dit betekent dat de lange stok in deze tensegrity dus 36,3 cm moet zijn.

- X Y Z
A 0 0 0
B 20,44 0 0
C 10,22 17,70 0
D 16,54 -1,8 -19,98
E -0,77 6,85 -13,39
F 0,39 -13,46 -15,38
Stok lengte C - F =
√{(-0,39-10,22)2 +
(-13,46-17,70)2 +
(-15,38-0)2} =
36,1 cm

- X Y Z
A 0 0 0
B 20,44 0 0
C 10,22 17,70 0
D 16,54 -3,8 -19,70
E 0,24 7,43 -14,59
F -1,34 -12,91 -15,79
Stok lengte C - F =
√{(-1,34-10,22)2 +
(-12,91-17,70)2 +
(-15,79-0)2} =
36,3 cm

- X Y Z
A 0 0 0
B 20,44 0 0
C 10,22 17,70 0
D 16,54 -5,8 -19,21
E 2,31 8,63 -16,52
F -3,07 -11,09 -16,89
Stok lengte C - F =
√{(-3,07-10,22)2 +
(-11,09-17,70)2 +
(-16,89-0)2} =
35,9 cm

In bovengenoemd voorbeeld gaat het om een tensegrity waarbij alle touwtjes even lang zijn en twee stokjes kort en één lang. Maar de vergelijkingen zijn hier allen van algemene aard, dus deze techniek is voor allerlei ongelijkvormige tensegrities geschikt zolang ze maar uit drie stokjes bestaan.

Marcelo Pars