gb

TENSEGRITY

logo02
WISKUNDE
wiskunde de eerste vergelijking meer dan drie stokjes tetraëder ongelijkvormig

Tetraëder

In feite gaat het hier niet om een gewone tetraëder, maar om een zogenaamde afgeknotte tetraëder, omdat de hoekpunten eraf gesneden zijn waardoor de uitenden geen punten maar driehoeken zijn.

Om het probleem op te kunnen lossen wordt deze tensegrity van een bepaald oogpunt bekeken, zoals hiernaast afgebeeld.

Loodrecht op de foto lopen het middelste stokje en het middelste touwtje evenwijdig aan elkaar. De z-richting (loodrecht op de foto) is daarom niet meer interessant en zodoende is het dimensioneren van een tetraëder tensegrity nu een tweedimensionaal vraagstuk.

Allereerst de betekenis van de symbolen die op deze pagina worden gebruikt:

s = de lengte van de stok.

b = lengte van de 12 touwtjes die tezamen 4 driehoeken vormen.

c = de lengte van de 6 touwen die de driehoeken met elkaar verbinden.

φ = hoek die de verdraaiing weergeeft tussen de driehoeken. Bij een gewone afgeknotte tetraëder is deze 0, maar bij een tensegrity dus niet.

ω = hoek tussen de assen van een tetraëder. Deze bedraagt 109,47°. Vanuit iedere hoek van een tetraëder is er een lijn denkbaar naar de kern van de tetraëder. De hoek die deze assen met elkaar maken is de hier bedoelde hoek. Nog interessanter voor de berekening is echter de halve hoek, oftewel 54,74°, waarbij geldt cos(½ω) = √(1/3).

In de figuur hiernaast beschrijft de grote cirkel alle punten waar de einden van touw c kunnen liggen (dus gewoon een cirkel met een straal ½ c). Het touwtje c ligt hierbij in een horizontaal vlak evenals het stokje s.



tensegrity 142

De kleine ellips beschrijft alle punten waar alle drie de hoekpunten van de driehoek met zijde b op gelegen zijn. In werkelijkheid liggen deze punten op een cirkel maar vanaf bovenaf gezien is het een ellips.

tensegrity 100
tensegrity 099

Bovenstaande figuren (die veel op elkaar lijken en eigenlijk alleen in φ verschillen), zijn twee voorbeelden van hoe de houtjes en de touwtjes zouden kunnen lopen.

De straal van de grote cirkel ligt vast met de keuze van touwlengte c. De straal van de ellips ligt vast met de keuze van touwlengte b. Voor deze straal geldt namelijk:

rb = b / √3
(17)

Verder ligt vast dat de hoek in de ellips tussen het punt waar het touwtje c eindigt en waar stokeinde s eindigt precies 120° bedraagt.

De enige vraag die nog overblijft is: Bij welke hoek φ is de lengte van stok s maximaal.

Er zijn talloze slimme technieken om dit uit te rekenen, (voor de hand ligt om de afgeleide te bepalen en deze 0 te stellen) maar een praktische oplossing is om voor veel hoeken φ de lengte van s te bepalen en, waarbij de grootste lengte automatisch de juiste lengte is.

Voor de lengte van stok s geldt (zie bovenstaande figuren):
(½s)2 = (x1)2 + (y1 + y2 + y3)2
(18)

Waarbij:

x1 = (b/√3) * sin(φ+120)
(19)
y1 = √((½c)2- ((b/√3) * sin(φ))2)
(20)
y2 = (b/√3) * cos(φ) * cos(½ω)
(21)
y3 = - (b/√3) * cos(φ+120) * cos(½ω)
(22)

Waarbij geldt cos(½ω) = √(1/3)

Het berekenen van een tetraëder tensegrity gaat dus als volgt:

Kies de touwlengten b en c. Vul deze waarden in vergelijking (19) t/m (22) en variëer met kleine stapgrootte de waarde φ.

De waarde van ½ s (resultante van verg (18)) zal dan ook in kleine stappen variëren. De grootste ½ s is de juiste halve stoklengte.

Op pagina3D afbeeldingenkun je een tekening van een tetraëder draaien.

tensegrity 211
Marcelo Pars