gb

TENSEGRITY

logo02
WISKUNDE
wiskunde de eerste vergelijking meer dan drie stokjes tetraëder ongelijkvormig

Meer dan drie stokjes

Op de figuur hiernaast is het bovenaanzicht van een tensegrity bestaande uit vijf stokjes schematisch weergegeven. Ieder stokje s en ieder touwtje b is in drie verschillende standen weergegeven om de kernvraag visueel weer te geven: In welke stand van de stokjes s (en de touwtjes b) is de afstand c tussen twee stokeinden minimaal?

Hierbij weer kort de betekenis van de verschillende tekens:

s = de lengte van de stokjes

a = de lengte van een touwtje onderaan de tensegrity.
Omdat deze vijf touwtjes hier allen even lang zijn vormen zij automatisch samen een gelijkzijdige vijfhoek.

b = de lengte van een touwtje bovenaan. Ook hier weer een gelijkzijdige vijfhoek.

c = de lengte van een touwtje dat de bovenkant van het ene stokje verbindt met de onderkant van een ander stokje. Deze touwtjes c zijn in de naaste figuur nog niet weergegeven.

n = het aantal stokjes

tensegrity 145

Hiernaast is uit de drie verschillende standen van de stokjes s en de touwtjes b één stand overgenomen. Daarnaast is touwtje c getekend en zijn er weer enkele zwarte hulplijnen aangebracht.

Er geldt weer (zie vorige webpagina):

c2 = s2 - a2 - 2*a*x
(3)

Ook hier geldt: hoe groter x hoe kleiner c. Voor de maximale x geldt ook nu:

xmax = rb - ½ a
(4)

Tot zover dus geen verschil met een tensegrity met drie stokjes. Het verschil zit hem in de lengte van rb, de straal van de cirkel waarin nu de gelijkzijdige vijfhoek met zijde b precies in past.

De relatie tussen de straal van een cirkel rb en de lengte van zijde b van een gelijkzijdige n-hoek is:

rb = ½ b / sin(180/n)
(7)

Vergelijking (3), (4) en (7) geven samen:

(s2 - c2) * sin(180/n) = a * b
(8)

Bovenstaande vergelijking geeft de verhouding tussen de vier lengtes a, b, c en s en het aantal hoeken (= het aantal stokjes) weer.

tensegrity 146

Maar het bovenste uiteinde van een stokje hoeft niet per se verbonden te worden met het onderste puntje van het naast gelegen stokje. Er kan best een stokje tussen zitten en dat is ook op naastgelegen figuur weergegeven.

In de figuur staan de vijf stokjes al in de juiste positie weergeven, met een maximale x en dus een minimale lengte c. Voor x geldt nu:

s2 = (k + x)2 + y2 + z2
(9)
c2 = x2 + y2 + z2
(10)

=>

c2 = s2 - k2 - 2*k*x
(11)

Dus ook hier geldt de kleinste c (het kortst mogelijke touwtje) wordt verkregen bij een maximale x

xmax = rb - ½ k
(12)

Voor de waarde k in verg (11) en (12) geldt:

½ k = ra * sin(180*2/n)
(13)

Net als voor rb geldt voor ra:

ra = ½ a / sin(180/n)
(14)

Vergelijkingen (11), (12), (13) en (14) geven nu tezamen

( s2 - c2 ) * sin2(180/n) = a * b * sin (180*2/n)
(15)

Hierbij is de waarde 2 in sin (180*2/n) gegeven door het feit dat het uiteinde van een stokje middels touw c niet aan het eerstvolgende stokje vast zit, maar aan het tweede stokje.

Stel v is het volgnummer dat bepaald tussen welke stokken touw c een verbinding vormt (dus v = 1 betekent dat een stok verbonden wordt met de eerstvolgende stok, v = 2 betekent dat de stok verbonden wordt met de tweede stok, etc). Dan wordt de algemene formule voor dergelijke tensegrities:

( s2 - c2 ) * sin2(180/n) = a * b * sin (180*v/n)
(16)
tensegrity 147

Samenvatting

De verhoudingen tussen de lengtes van touwtjes en stokjes van eenvoudige tensegrities bestaande uit drie of meer stokjes allen gelegen in een zelfde laag worden beschreven met onderstaande vergelijking:

( s2 - c2 ) * sin2(180/n) = a * b * sin (180*v/n)
(16)

waarbij:

s = de lengte van de stokjes.

a = de lengte van een touwtje onderaan de tensegrity.

b = de lengte van een touwtje bovenaan.

c = de lengte van een touwtje dat de bovenkant van het ene stokje verbindt met de onderkant van een ander stokje.

n = het aantal stokjes

v = het volgnummer dat bepaald welke twee stokken door c met elkaar verbonden worden.

Marcelo Pars