gb

TENSEGRITY

logo02
WISKUNDE
wiskunde de eerste vergelijking meer dan drie stokjes tetraëder ongelijkvormig

De eerste vergelijking

Op deze pagina leggen we het verband vast tussen de stokjes en de verschillende touwtjes van de meest eenvoudige tensegrity.

Voordat we gaan rekenen geven we de lengtes van de houtjes en touwtjes ieder een letter. Voor de duidelijkheid zijn de letters hiernaast ook in de meest eenvoudige tensegrity afgebeeld (dit keer van bovenaf).

s = de lengte van de stokjes

a = de lengte van een touwtje onderaan de tensegrity.
Let op: bij deze eenvoudige tensegrity zijn deze touwtjes even lang en omdat de touwtjes van een tensegrity altijd strak staan vormen zij automatisch samen een gelijkzijdige driehoek (hoeken van 60°).

b = de lengte van een touwtje bovenaan. Ook hier weer een gelijkzijdige driehoek.

c = de lengte van een touwtje dat de bovenkant van het ene houtje verbindt met de onderkant van een ander houtje. Meer is er voorlopig niet te beschrijven over deze tensegrity.

tensegrity 113

Hiernaast staat dezelfde tensegrity schematisch weergegeven. De lengte van a is gekozen en ook de positie van de gelijkzijdige driehoek die de drie touwtjes tezamen vormen ligt vast (zie de rode driehoek). De lengte van de stokjes s en de touwtjes b ligt ook vast, alleen het is nog niet duidelijk hoe de blauwe driehoek ligt ten opzichte van a. Om dit te illustreren is ieder touwtje b en ieder stokje s in vijf verschillende posities weergegeven.

In deze tekening zijn de touwtjes c niet weergegeven. En het is juist deze lengte die nog bepaald moet worden aangezien de lengte van a, b en s al gekozen zijn.

In praktijk heeft de tensegrity maar één driehoek b natuurlijk, maar de vraag is: Hoe staat deze driehoek ten opzichte van de driehoek a.

De vraag kan ook anders gesteld worden: Voor welke blauwe driehoek geldt dat de lengte tussen de rechter hoekpunt van de rode driehoek en de rechter hoekpunt van de blauwe driehoek het kleinst is? Want tussen die twee hoekpunten loopt touwtje c en dat zal alleen strak staan als het precies even lang is als de kortste afstand tussen de twee hoekpunten

tensegrity 114 Hoe ligt driehoek b ten opzichte van driehoek a?

In de tekening hiernaast is nu één van de vijf posities uit bovenstaande figuur overgenomen en er zijn wat hulplijnen getekend om de onderstaande vergelijkingen begrijpelijker te maken.

In de vergelijkingen komt ook de letter z voor en deze is niet in de figuur te zien. Deze z staat voor de hoogte van de tensegrity.

Er geldt (met behulp van Pythagoras):

s2 = (a + x)2 + y2 + z2
(1)
c2 = x2 + y2 + z2
(2)

Als je deze vergelijkingen samenpakt, krijg je:

c2 = s2 - a2 - 2*a*x
(3)

Om een tensegrity stevig te laten staan, moeten de touwtjes zo kort mogelijk zijn. Nu kun je uit bovenstaande vergelijking aflezen dat hoe groter x hoe kleiner c zal zijn. Dus, voor een goede tensegrity moet x zo groot mogelijk zijn.

tensegrity 115

Zonder verder te rekenen is in de figuur hiernaast de maximaal denkbare x weergegeven (uiteraard bij een gegeven a, b en s). Iedereen die naar deze figuur kijkt zal zien dat een langere x niet denkbaar is, maar voor diegene die dit toch in berekening wil zien verwijs ik naar Bob Burkhardt's A Practical Guide to Tensegrity Design pagina 44 en 45.

Voor xmax geldt dus:

xmax = rb - ½ a
(4)

waarbij rb de straal van de cirkel is waarin de gelijkzijdige driehoek met zijde b precies past (zie de horizontale gestippelde lijn)

Er geldt (in het algemeen voor gelijkzijdige driehoeken):

rb = ½ b / sin(60)
(5)

Vergelijking (3), (4) en (5) geven samen:

s2 - c2 = a * b / sin(60)
(6)

En zo ligt met vergelijking (6) de verhouding tussen de vier lengtes a, b, c en s vast.

tensegrity 116

Samenvatting

Met onderstaande vergelijking (6) kunnen verschillende soorten eenvoudige tensegrities gemaakt worden (uitsluitend met drie gelijke stokjes), zolang men zich maar aan vergelijking (6) houdt.

s2 - c2 = a * b / sin(60)
(6)

Op pagina3D afbeeldingenkun je een tekening van deze eenvoudige tensegrity draaien.

Marcelo Pars